Ph.D.

This page is about the work done during my Ph.D. at the university Pierre & Marie Curie (Paris 6)laboratoire J.-L. Lions between 2004 and 2008. My advisor was the Professor P. L. Combettes. I gave my defense talk on june, 10th, 2008.

The jury was composed of

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English summary:

Generalized convex projection algorithms and applications to
medical imaging

This thesis focuses on the use of generalized projection operators in convex optimization algorithms and on their applications to medical imaging. We describe various extensions of the notion of a projection onto a closed convex set in a Hilbert space. These include subgradient projectors, proximity operators, and Bregman projectors. We propose a new generalized projection algorithm for projecting onto a countable intersection of closed convex sets and prove its convergence. This contribution unifies several existing results on the convergence of projection methods in Hilbert spaces. We then study original applications of projection methods in medical imaging. We propose a new strategy to incorporate Poisson noise in continuous tomography, as well as a new approach to discrete tomography via convex programming and total variation. We also discuss the connections between total variation, compressive sensing, and tomographic reconstruction. Finally, we present what seem to be the first numerical results on the use of Bregman distances in projection algorithms. The software tools that have been developed to carry out this work have been designed so as to be made available to the scientific community.

English Keywords:

Bregman distance, compressive sensing, convex programming, discrete tomography, image restoration, image reconstruction, nonexpansive operator, projection algorithm, radiotherapy, statistical estimation, tomography, total variation.

French summary:

Algorithmes de projections convexes généralisées et applications
en imagerie médicale

Cette thèse porte sur l’utilisation d’opérateurs de projection généralisés dans les algorithmes d’optimisation convexe et sur leur application en imagerie médicale. Nous décrivons diverses généralisations de la notion de projection sur un convexe fermé dans un Hilbert. Celles-ci incluent les projections sous-différentielles, les opérateurs proximaux et les projecteurs de Bregman. Nous proposons un nouvel algorithme de projections généralisées pour projeter sur une intersection dénombrable de convexes et démontrons sa convergence. Cette contribution unifie plusieurs résultats existants sur la convergence des méthodes de projection dans les Hilbert. Nous étudions ensuite des applications originales des méthodes de projection en imagerie médicale, en proposant une nouvelle stratégie pour la prise en compte du bruit poissonnien en tomographie continue, ainsi qu’une nouvelle approche en tomographie discrète par la programmation convexe et l’utilisation de la variation totale. Nous formulons également quelques réflexions sur les liens entre variation totale, acquisition comprimée, et reconstruction tomographique. Nous présentons enfin ce qui semble être les premiers résultats numériques sur l’utilisation des distances de Bregman dans les algorithmes de projection. Les outils informatiques développés dans le cadre de cette thèse ont été conçus de manière à être mis à disposition de la communauté scientifique.

French keywords:

acquisition comprimée, algorithme de projection, contraction, distance de Bregman, estimation statistique, programmation convexe, radiothérapie, restauration d’image, reconstruction d’image, tomographie, tomographie discrète, variation totale.


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